【基本】2次方程式(中学3年)

次の2次方程式を解きなさい。
(1)$ x^2-13=11+2x $
(2)$ (x+3)^2=2(x+3) $
(3)$ x(x+3)=5x+15 $

解説

$ ax^2+bx+c=0 $ の形に整理する前に、工夫したら簡単に因数分解できる場合がある。


解答

(1)$ x^2-13=11+2x $
左辺にすべて移項し、整理する。$ x^2-2x-13-11=x^2-2x-24=0 $
$ x^2-2x-24=0 $ は因数分解できる。$ (x+4)(x-6)=0 $
$ x+4=0 $ または $ x-6=0 $ のときだけ等式が成り立つ。
$ x+4=0 $ より、$ x=-4 $ ・・・(答)
$ x-6=0 $ より、$ x=6 $ ・・・(答)


(2)$ (x+3)^2=2(x+3) $
展開し、$ ax^2+bx+c=0 $ の形にし、因数分解という方法もあるが、あまりにも芸がない。共通部分があることに気がつくべきだろう。

【鉄則】共通部分があるときは、置換を考えよ!

$ x+3=A $ と置く。すると与式は、$ A^2=2A $ → $ A^2-2A=0 $
$A$ で括って、$ A(A-2)=0 $
$A$ に $ x+3 $ を戻すと、$ (x+3)(x+3-2)=0 $ → $ (x+3)(x+1)=0 $
因数分解できた形になった。

したがって解は、$ x+3=0 $ より、$ x=-3 $ ・・・(答)
$ x+1=0 $ より、$ x=-1 $ ・・・(答)


(3)$ x(x+3)=5x+15 $
式の一部を括ってやると共通部分が浮かび上がる。
$ x(x+3)=5x+15 $ → $ x(x+3)=5(x+3) $ 共通部分が見えた!
$ x+3=A $ と置く。$ xA=5A $ → $ xA-5A=0 $ → $ A(x-5)=0 $
$A$ に戻すと、$ (x+3)(x-5)=0 $
したがって解は、$ x+3=0 $ より、$ x=-3 $ ・・・(答)
$ x-5=0 $ より、$ x=5 $ ・・・(答)