解答

（1）特に共通因数もなければ、括り出しによって何かが見えてきそうな感じもしない。

普通に展開し、$ ax^2+bx+c=0 $ の形に整理するパターンと判断する。
$ (x+2)^2-31=2x-3 $　→　$ x^2+4x+4-31=2x-3 $　→　$ x^2+2x-24=0 $
これは因数分解できる。
$ x^2+2x-24=0 $　→　$ (x+6)(x-4)=0 $
解は、$ x=-6 $，$ x=4 $　・・・（答）

---

（2）$ (x+8)^2+2(x+8)-15=0 $
パッと見て、共通なものがある。

$ x+8=A $ と置く。$ A^2+2A-15=0 $
これは因数分解できる。
$ A^2+2A-15=0 $　→　$ (A+5)(A-3)=0 $
$A$ に $ x+8 $ を戻して、$ (x+8+5)(x+8-3)=0 $　→　$ (x+13)(x+5)=0 $
解は、$ x=-13 $，$ x=-5 $　・・・（答）

---

（3）$ (x-2)^2+\sqrt{2}(x-2)=0 $
無理数があるが、この問題も共通部分がある。共通部分は置換してみよう。

$ x-2=A $ と置く。すると与式は、$ A^2+\sqrt{2}A=0 $　→　$ A(A+\sqrt{2})=0 $

$A$ に $ x+2 $ を戻して、$ (x-2)(x-2+\sqrt{2})=0 $
等式が成り立つのは、$ x-2=0 $ または $ x-2+\sqrt{2}=0 $ のときだけ。
$ x-2=0 $より、$ x=2 $　・・・（答）
$ x-2+\sqrt{2}=0 $より、$ x=2-\sqrt{2} $　・・・（答）