【基本】2次方程式（中学3年）

次の2次方程式を解きなさい。
（1）$ 2(x-3)^2+2=(x+4)(x-4) $
（2）$ (2x+1)^2-32=4(2x+1) $

解答

（1）展開し、$ ax^2+bx+c=0 $ の形に整理するのが基本的な解法。
左辺も右辺も括弧を展開してやる。

$ 2(x-3)^2+2=(x+4)(x-4) $
$ 2(x^2-6x+9)=2x-2-12x+18+2=2x^2-12x+20=x^2-16 $

これを $ ax^2+bx+c=0 $ の形に整理すると、 $ x^2-12x+36=0 $ となるから、$ (x-6)^2=0 $ と因数分解できて、$ x=6 $　・・・（答）

今回の場合のように、$ (x-6)^2=0 $ と因数分解でき、解が1個の場合、このひとつの解のことを『重解』という。 $ x=6 $，$ x=6 $ とふたつ同じ答えを書いたりはしない。

（2）展開して $ ax^2+bx+c=0 $ の形に整理する解法でも答えを出すことはできるだろうが、式の中に共通部分があることに注目する。

【鉄則】共通部分がある場合は、『置換』を考えよ！！

$ 2x+1=A $ と置くと、与式は、$ A^2-32=4A $ と書ける。
これは普通の2次方程式だから解ける。
$ A^2-32=4A $　→　$ A^2-4A-32=0 $　→　$ (A-8)(A+4)=0 $

よって、$ A=8 $，$ A=-4 $

$A$ とは、$ 2x+1=A $ のことだから、 $A$にそれぞれ当てはめて、 $ 2x+1=8 $ より、$ x=\dfrac{7}{2} $，$ 2x+1=-4 $ より、$ x=-\dfrac{5}{2} $　・・・（答）

※ 普通に展開する解法でも解いてみよ！の形にはできると思うが、因数分解が難しい！！因数分解が難しい場合はどうする？　→　「解の公式」を使え！！