次の2次方程式を解きなさい。
(1)$ 2(x-3)^2+2=(x+4)(x-4) $
(2)$ (2x+1)^2-32=4(2x+1) $
(1)展開し、$ ax^2+bx+c=0 $ の形に整理するのが基本的な解法。
左辺も右辺も括弧を展開してやる。
$ 2(x-3)^2+2=(x+4)(x-4) $
$ 2(x^2-6x+9)=2x-2-12x+18+2=2x^2-12x+20=x^2-16 $
これを $ ax^2+bx+c=0 $ の形に整理すると、 $ x^2-12x+36=0 $ となるから、$ (x-6)^2=0 $ と因数分解できて、$ x=6 $ ・・・(答)
今回の場合のように、$ (x-6)^2=0 $ と因数分解でき、解が1個の場合、 このひとつの解のことを『重解』という。 $ x=6 $,$ x=6 $ とふたつ同じ答えを書いたりはしない。
(2)展開して $ ax^2+bx+c=0 $ の形に整理する解法でも答えを出すことはできるだろうが、式の中に共通部分があることに注目する。
【鉄則】共通部分がある場合は、『置換』を考えよ!!
$ 2x+1=A $ と置くと、与式は、$ A^2-32=4A $ と書ける。
これは普通の2次方程式だから解ける。
$ A^2-32=4A $ → $ A^2-4A-32=0 $ → $ (A-8)(A+4)=0 $
よって、$ A=8 $,$ A=-4 $
$A$ とは、$ 2x+1=A $ のことだから、 $A$にそれぞれ当てはめて、 $ 2x+1=8 $ より、$ x=\dfrac{7}{2} $,$ 2x+1=-4 $ より、$ x=-\dfrac{5}{2} $ ・・・(答)
※ 普通に展開する解法でも解いてみよ! の形にはできると思うが、因数分解が難しい!! 因数分解が難しい場合はどうする? → 「解の公式」を使え!!