【基本】2次方程式(中学3年)

(1)$ a,b $ を定数とする。2次方程式 $ x^2-ax+b=0 $ の2つの解が-3,5であるとき、$ a,b $ の値をそれぞれ求めよ。
(2)2次方程式 $ x^2+ax+b=0 $ の解が 5 のみであるとき、$ a,b $ の値を求めなさい。

解答

(1)2次方程式を解く過程を逆にたどる。
解が-3,5 で、$ x^2 $ の係数が1ということから、2次方程式 $ x^2-ax+b=0 $ は、 $ (x+3)(x-5)=0 $ と因数分解できて、解が求められたと考えられる。

つまり、$ (x+3)(x-5)=0 $ を展開した $ x^2-2x-15=0 $ がもとになる2次方程式で、 これが因数分解されて、$ (x+3)(x-5)=0 $ となるから、解が-3,5 になったということ。

$ (x+3)(x-5)=x^2-2x-15=0 $ だから対応する係数を見て、$ a=2 $,$ b=-15 $ とわかる。・・・(答)

※ 係数を見るとは?
$ x^2-ax+b=0 $ ⇔ $ x^2-2x-15=0 $
左右を見比べて、式が一致するように係数を合わせる。 $ a=-2 $ でないことに注意。

別解

2つの解が-3,5 といっているので、それぞれを代入してやる。
$ (-3)^2-a \cdot (-3)+b=0 $ → $ 9+3a+b=0 $ → $ 3a+b=-9 $ ・・・①
$ 5^2-a \cdot 5+b=0 $ → $ 25-5a+b=0 $ → $ -5a+b=-25 $ ・・・②

①と②の連立方程式を解く。
∴ $ a=2 $,$ b=-15 $ ・・・(答)


(2)解が 5 のみであるというのは、『重解』を持っているということ。
つまり因数分解した形が、$ (x-5)^2=0 $ という形であるということ。
$ (x-5)^2=x^2-10x+25=0 $ だから対応する係数を見て、$ a=-10 $,$ b=25 $ とわかる。