解説

この問題の大切なポイントは、$a$ の2次方程式になるので、$a$ の値が2個存在するので、 その2つの $a$ の値ごとに『場合分け』をして解を検証するということ。

解答

2次方程式 $ x^2+2ax-8a^2=0 $ のひとつの解が $ x=-4 $ といっているので、当然 $x$ に－4を代入できる。

$ (-4)^2+2a \cdot (-4)-8a^2=0 $　→　$ 16-8a-8a^2=0 $　→　$ -8a^2-8a+16=0 $
両辺を－8で割って、式を整理すると、$ a^2+a-2=0 $ となる。
これは、$ (a+2)(a-1)=0 $ と因数分解でき、$ a=1 $，$ a=-2 $

ここで『場合分け』が必要になってくる。

$ a=1 $ のとき

$ x^2+2ax-8a^2=0 $ は、$ x^2+2x-8=0 $ となり、$ (x+4)(x-2)=0 $ と因数分解できるので、$ x=-4 $，$ x=2 $

$ a=-2 $ のとき

$ x^2+2ax-8a^2=0 $は、$ x^2+4x-32=0 $ となり、$ (x+4)(x-8)=0 $ と因数分解できるので、$ x=-4 $，$ x=8 $

ここで終わりではない。$ a=1 $ と $ a=-2 $ の2つを解答を書いたらアウトである。

問題には「他の解が4の倍数であるとき」と解に制約がついている。
この2組の解を検証すると、－4以外のもうひとつの解が4の倍数になっているのは、$ a=-2 $ のときのみといえる。・・・（答）