【基本】平方根（中学3年）

$x+y= \sqrt{2}$ ， $xy= \sqrt{3}$ のとき、 $x^2-xy+y^2$ の値を求めなさい。

解説

これは「基本対称式」の問題である。
求値式である $x^2-xy+y^2$ は「対称式」なので、「基本対称式」を使って書き表すことができる。

【重要】対称式と基本対称式とは？
$x^2-xy+y^2 = y^2-yx+x^2$ この式の右辺のように、 $x,y$ を入れ替えても変わらない式のことを「対称式」という。（入れ替えても等式として成り立つのが確認できるでしょ？！）

対称式の中でも、特に一番シンプルな形である $x+y$ ， $xy$ を「基本対称式」という。

重要な事実は、 $x^2-xy+y^2$ のような「対称式」は、「基本対称式」である $x+y$ ， $xy$ のみを使って書きかえることができるということ！

まず、 $x+y$ の2乗を考える。
$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$ だから、求値式の $x^2-xy+y^2$ は、 $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$ に、 $-3xy$ を足したものとわかる。

つまり、 $x^2-xy+y^2 = x^2+2xy+y^2-3xy = (x+y)^2-3xy$

$x^2-xy+y^2$ を「基本対称式」である $x+y$ と $xy$ のみを使って書き表すことができた。あとは、 $x+y$ と $xy$ に代入すればよい。

$x^2-xy+y^2 = (x+y)^2-3xy = (\sqrt{2})^2-3 \cdot \sqrt{3} = 2-3 \sqrt{3}$ 　・・・（答）

【鉄則】対称式の求値問題は、「基本対称式」を使って書きかえよ！

中学のレベルでは、2変数の「対称式」しか扱わないので、「基本対称式」は $x+y$ ， $xy$ を覚えておくだけでよい。 2次方程式の分野にも出てくるので重要です。