解説

$ \sqrt{2} $ から $ \sqrt{10} $ までの小数は、語呂を使って記憶しておいたほうがいい。 $ \sqrt{7} $（菜に虫こない）である。

もし小数がわからなくても、$ \sqrt{7} $ は、$ \sqrt{4}=2 $ と $ \sqrt{9}=3 $ の間の数だから、「2.・・・」という小数になることはわかる。

解答（1）

$ \sqrt{7} $ の小数部分とは、0.64575・・・のことである。 整数部分の2を取り去れば小数部分が残るので、$ \sqrt{7} $ の小数部分 $y$ は、$ y=\sqrt{7}-2 $ ・・・（答）

解答（2）

$ \sqrt{7} $ の整数部分を $x$ は2である。つまり、$ x=2 $。 $ \sqrt{7} $ の小数部分 $y$ は、$ y=\sqrt{7}-2 $ と前問で求めたので、これを使って求値式を計算する。 この求値式は、因数分解できることに気がついてほしい。 もちろん直接代入しても、式が簡単なので、さほど時間がかからないかもしれない。

【計算①】「直接代入して計算」

$ x^2-2xy-3y^2 \\ =2^2-2 \cdot 2(\sqrt{7}-2)-2(\sqrt{7}-2)^2 \\ = 4-4(\sqrt{7}-2)-3(7-4\sqrt{7}+4) \\ =4-4\sqrt{7}+8-21+12\sqrt{7}-12 \\ =-21+8\sqrt{7} $

（答）$ -21+8\sqrt{7} $

【計算②】「求値式を因数分解してから代入して計算」

$ x^2-2xy-3y^2=(x+y)(x-3y) $ と因数分解。これに代入する。

$ (x+y)(x-3y)=\{ 2+(\sqrt{7}-2) \}\{ 2-3(\sqrt{7}-2) \} \\ = \sqrt{7}(2-3\sqrt{7}+6) \\ = \sqrt{7}(8-3\sqrt{7}) \\ = 8\sqrt{7}-21 \\ = -21+8\sqrt{7} $

（答）$ -21+8\sqrt{7} $