解説

ルートが外れる条件とはなにかさえわかれば、簡単に解ける問題。
ルートが外れるのは、ルートの中が平方数（何かを2乗した数）のとき！
ルートの中が、平方数になるためにはどうしたらよいかを考えよ。

解答（1）

150を素因数分解すると、150＝2×3×5×5
5のペアはすでにある。2と3が1つずつしかないので、これらのペアを補充してやれば、ルート内が平方数となる。
だから、まず150に×2と×3は最低限必要。
だから最小の $a$ の値は6　・・・（答）
150に6を掛けると、150×6＝2×2×3×3×5×5＝900（30の2乗）と平方数になる。

ルート内に平方数が完成したので、あとはその数に平方数を掛けていくしかない。
（平方数でない数を掛けてしまうと、その数は平方数ではなくなる。）

平方数で最小のものは、$ 1^2=1 $ だが、これを掛けても変わらないので、次に小さい $ 2^2=4 $ を掛けてやる。
よって、2番目に小さい $a$ は、6×4＝24　・・・（答）
次に小さい平方数は、$ 3^2=9 $ なので、6×9＝54　・・・（答）

解答（2）

$ \sqrt{\dfrac{40}{77}A} $ のルート内を素因数分解して表現すると、$ \sqrt{\dfrac{2^3 \cdot 5}{7 \cdot 11}A} $ となる。

分子には、2のペアが1組と、単独の2と5がある。
分母には、7と11がひとつずつ。
全体が自然数になるためには、まず分母が約分されて1にならないといけない。
よって、$A$ には、7×11がまず必要。

次に分子を見ると、すでに2のペアが1組ある。
2と5がまだ単独なので、これにペアを作ってやる。
よって、$A$ には、2×5の掛け算が必要となる。

以上より、$ A=2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11=770 $　・・・（答）