解説

根号が外れる条件とは、根号内が平方数になるということ。 「根号が外れて整数になる」という類の問題は、根号内が平方数になるような数を見つけてやればよい。

解答

$ $ が平方数となるような正の整数 $n$ を見つける。 $n$ が正の整数といっているので、$ 100-3n $ は少なくとも100よりも小さい数といえる。

よって100よりも小さい数で平方数になるものを考える。 それは1から9までの数を2乗した9個の数だけである。 それらをひとつひとつ検証していく。

つまり、$ 100-3n $ が、1の平方数（ $1^2=1$ ）となるような $n$ の値は存在するか、 2の平方数となるような $n$ の値は存在するか・・・というように、ひとつひとつ検証していく。

結果は以下の表のようになる。

正の整数となるような $n$ の値が存在しない場合は×とした。

$ 100-3n $ が平方数になるか	平方数となるときの $n$ の値
$ 1^2=1 $	$ n=33 $
$ 2^2=4 $	$ n=32 $
$ 3^2=9 $	×
$ 4^2=16 $	$ n=28 $
$ 5^2=25 $	$ n=25 $
$ 6^2=36 $	×
$ 7^2=49 $	$ n=17 $
$ 8^2=64 $	$ n=12 $
$ 9^2=81 $	×

以上より、12，17，25，28，32，33　・・・（答）