解説

根号が外れる条件とは、根号内が平方数になるということ。 「根号が外れて整数になる」という類の問題は、根号内が平方数になるような数を見つけてやればよい。

解答

$ 120n $ が平方数となるような正の整数 $n$ を見つける。

120を素因数分解すると、$ 120=2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 $ となる。 これらの因数のうち2のペアは1組あり、2と3と5が単独で存在している。 120に何か正の整数を掛けて平方数にするには、まず最低限、単独で存在している2と3と5にペアを作ってやらないといけない。

よって、$ 120n $ を平方数にする最小の正の整数 $n$ は、2・3・5＝30 とわかる。

120×30で、まず考え得る最小の平方数が完成した。

次にこの数に何かを掛けて平方数にできる数といえば、平方数しかない。 平方数以外の数を掛けると、その数は平方数ではなくなってしまうからである。

120×30に掛けることができる最小の平方数は、$ 2^2=4 $ である。 $ 1^2=1 $ も平方数ではあるが、掛けても数が変わらないので意味がない。

よって、2番目に小さい $n$ の値は、30×4＝120である。

同様の考えで、3番目に小さい平方数を求めるには、$ 2^2=4 $ の次に大きい $ 3^2=9 $ を掛けてやればよい。

4番目に小さい平方数を求めるには、$ 3^2=9 $ の次に大きい $ 4^2=16 $ を掛けてやればよい。

したがって、$ 120n $ を平方数にする4番目に小さい正の数 $n$ は、30×16＝480　・・・（答）