解説

根号が外れる条件とは、根号内が平方数になるということ。 「根号が外れて整数になる」という類の問題は、根号内が平方数になるような数を見つけてやればよい。

解答

$ \sqrt{6+3n} $ の根号内を因数分解すると、$ 3(2+n) $ と因数分解できる。

これが平方数になるためには、まず最低限、$ (2+n) $ の因数に3がないといけない。 もし、3が因数（掛け算の構成要素）として含まれないと、3のペアが作れないので、平方数でなくなり、根号を外すことができない。

$ (2+n) $ の因数に3が含まれるとして、あと因数として含めてよいものは平方数だけである。 つまり $ (2+n) $ ＝3×（何か）と書けるとき、（何か）に当たるものが平方数でないと、$ 3(2+n) $ が平方数にならなくなる。

よって、$ 2+n=3 \cdot k^2 $ と書くことができる。$k$ は自然数である。$n$ が100以下という問題の条件を満たすよう $k$ を小さいものから順に当てはめていこう。

$ k=6 $ から $n$ の値が100を超える。よって、$k$ が1～5のとき、問題の条件を満たすことになる。答えは、$n$ ＝1，10，25，46，73　の5個　・・・（答）