解説

無理数の大小比較の問題である。条件が違うものを比較することはできない。 分母の有理化や通分を使って、条件を同じにして大きさを比較する。

解答

まず、分母を有理化する。

左から2番目の数　→　$ \dfrac{4}{\sqrt{5}}=\dfrac{4}{\sqrt{5}} \cdot \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\dfrac{4\sqrt{5}}{5} $

左から3番目の数　→　$ \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{10}}{2} $

これでもまだ分母が違うため比較できない。分母を揃える。

左から、$ \sqrt{3}=\dfrac{10\sqrt{3}}{10} $， $ \dfrac{4}{\sqrt{5}}=\dfrac{4\sqrt{5}}{5}=\dfrac{8\sqrt{5}}{10} $， $ \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{10}}{2}=\dfrac{5\sqrt{10}}{10} $ となる。

これで、分子だけで比較できるようになったが、ルート内がそろっていないので、すべてルート内に数を含んだ形に書きかえる。

分母は揃っているので分子だけを計算すると、

$ 10\sqrt{3}=\sqrt{100 \cdot 3}=\sqrt{300} $，
$ 8\sqrt{5}=\sqrt{64 \cdot 5}=\sqrt{320} $，
$ 5\sqrt{10}=\sqrt{25 \cdot 10}=\sqrt{250} $

大小関係が比較できるようになった。

よって、$ \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} $ ＜ $ \sqrt{3} $ ＜ $ \dfrac{4}{\sqrt{5}} $　・・・（答）

別解

すべて正の数なので、各数を2乗して無理数を含まない数にしてから通分して比較する解法もある。 この解法が使えるのは、すべてが正の数（プラス）のときだけである。 負の数は、2乗すると正の数になる性質を持つため、単純に2乗して比較できない。