解説

この問題文は、条件が2つ書いてあり、1段落目の条件と2段落目の条件をうまく式で表してやらないといけない。 1段落目が少々ややこしい。このように問題が複雑なときは表形式にまとめるとわかりやすい。

未知数は、仕入れ値と仕入れ個数なので、これを文字として置こう。

仕入れ値を $x$ 円、仕入れ個数を $y$ 個とする。

定価は、仕入れ値の4割を利益として乗せたということから、仕入れ値の1.4倍となる。 その2割引きは、つまり8割（80％）のことだから定価の0.8倍であり、 半額とは5割（50％）のことだから定価の0.5倍となる。

1段落目の条件

	最初	1回目の値下げ	2回目の値下げ
販売価格	$1.4x$ 円	$1.4x \times 0.8$ 円	$ 1.4x \times 0.5 $ 円
売った個数	20個	$y-40$ 個	20個

「4割の利益を見込んだ定価で販売しました。20個は定価で売れました」を数式に翻訳すると、$ 1.4x \times 20 $ 円（売上金額）。　・・・①

「その後、売れないので定価の2割引きに値下げ販売しました」を数式に翻訳すると、$ 1.4x \times 0.8 \times (y-40) $ 円（売上金額）。　・・・②

「さらに、賞味期限が近づいたため、20個残っているところで定価の半額にして販売したところすべて売り切れ」を数式に翻訳すると、$ 1.4x \times 0.5 \times 20 $ 円（売上金額）。　・・・③

よって、最終的な総売り上げは、①②③の合計である。 次に「すべて売り切れ、利益は4080円になりました」を数式に翻訳しよう。 何の利益も乗せないで、仕入れ値のまま全部売ると、$xy$ 円になる。 そこに利益が4080円出たということは、実際の最終的な売り上げは、$ xy+4080 $ 円とも書ける。 これをイコールで結んで等式を作る。

$ 1.4x \times 20 +1.4 \times 0.8 \times (y-40) + 1.4x \times 0.5 \times 20 = xy + 4080 $　・・・④

2段落目の条件

次に2つめの条件は、仕入れ値の2割を利益として乗せたものを定価（売値）とし、 $y-5$ 個売ったら、6000円の利益がでるといっているので、次のように立式できる。
$ 1.2x(y-5)=xy+6000 $　・・・⑤

④式・⑤式の連立方程式を解く。（計算がやや大変。ケアレス・ミスに注意したい。）

④式の計算

$ 1.4x \times 20 + 1.4x \times 0.8 \times (y-40) +1.4x \times 0.5 \times 20 = xy + 4080 $
$ 28x + 1.12x(y-40) + 14x = xy + 4080 $

両辺を100倍して、小数をなくす。
$ 2800x+112x(y-40)+1400x=100xy+408000 $

括弧を展開し、整理する。
$ 12xy = 280x + 408000 $　・・・⑥

⑤式の計算

$ 1.2x(y-5)=xy+6000 $

両辺を10倍し、小数をなくし、整理する。
$ 12x(y-5)=10xy+6000 $

$ 2xy = 60x+60000 $　→　両辺を2で割る　→　$ xy=30x+30000 $　・・・⑦

この⑦式を⑥式の $xy$ に放り込むと、$x$ だけの1次方程式になる。
$ 12(30x+30000)=280x+408000 $　→　$ 80x=48000 $

∴　$ x=600 $（円）　・・・（答）

これを一番簡単そうな⑦式の $x$ に代入し、
$ 600y=30 \times 600 + 30000 $　∴　$ y=80 $（個）　・・・（答）